sábado, 19 de maio de 2012

PRODUTOS NOTÁVEIS


Há certos produtos que ocorrem freqüentemente no cálculo

 algébrico e que são chamados produtos notáveis. 

Vamos apresentar aqueles cujo emprego é mais freqüente.

QUADRADO DA SOMA DE DOIS TERMOS

Observe: (a + b)² = ( a + b) . (a + b)



= a² + ab+ ab + b²= a² + 2ab + b²

Conclusão:


(primeiro termo)² + 2.(primeiro termo) . (segundo termo) + 



(segundo termo)²

Exemplos :

1) (5 + x)² = 5² + 2.5.x + x² = 25 + 10x + x²

2) (2x + 3y)² = (2x)² + 2.(2x).(3y) + (3y)² = 4x² + 12xy + 9y²



Calcule

a) (3 + x)² = 


b) (x + 5)² = 


c) ( x + y)² = 


d) (x + 2)² = 


e) ( 3x + 2)² = 


f) (2x + 1)² = 


g) ( 5+ 3x)² = 


h) (2x + y)² = 


i) (r + 4s)² = 


j) ( 10x + y)² = 


l) (3y + 3x)² = 


m) (-5 + n)² = 


n) (-3x + 5)² = 


o) (a + ab)² = 


p) (2x + xy)² = 


q) (a² + 1)² = 


r) (y³ + 3)² = 


s) (a² + b²)² = 


t) ( x + 2y³)² = 


u) ( x + ½)² = 


v) ( 2x + ½)² = 


x) ( x/2 +y/2)² = 

QUADRADO DA DIFERENÇA DE DOIS TERMOS

Observe: (a - b)² = ( a - b) . (a - b)


= a² - ab- ab + b²= a² - 2ab + b²

Conclusão:


(primeiro termo)² - 2.(primeiro termo) . (segundo termo) 


+ (segundo termo)²

1) ( 3 – X)² = 3² + 2.3.X + X² = 9– 6x + x²

2) (2x -3y)² = (2x)² -2.(2x).(3y) + (3y)² = 4x² - 12xy+ 9y²


Exercícios

1) Calcule

a) ( 5 – x)² = 


b) (y – 3)² = 


c) (x – y)² = 


d) ( x – 7)² =


e) (2x – 5) ² = 


f) (6y – 4)² = 


g) (3x – 2y)² = 


h) (2x – b)² = 


i) (5x² - 1)² = 


j) (x² - 1)² =                   


l) (9x² - 1)² = 


m) (x³ - 2)² = 


n) (2m⁵ - 3)² = 


o) (x – 5y³)² =


p) (1 - mx)² =


q) (2 - x⁵)² =


r) (-3x – 5)² =


s) (x³ - m³)² =

PRODUTO DA SOMA PELA DIFERENÇA DE DOIS TERMOS
(a + b). (a – b) = a² - ab + ab - b² = a²- b²

conclusão:


(primeiro termo)² - (segundo termo)²

Exemplos :

1) ( x + 5 ) . (x – 5) = x² - 5² = x² - 25


2) (3x + 7y) . (3x – 7y) = (3x)² - (7y)² = 9x² - 49y²

EXERCÍCIOS

1) Calcule o produto da soma pela diferença de dois termos:

a) (x + y) . ( x - y) = 


b) (y – 7 ) . (y + 7) = 


c) (x + 3) . (x – 3) = 


d) (2x + 5 ) . (2x – 5) = 


e) (3x – 2 ) . ( 3x + 2) =


f) (5x + 4 ) . (5x – 4) = 


g) (3x + y ) (3x – y) = 


h) ( 1 – 5x) . (1 + 5x) = 


i) (2x + 3y) . (2x – 3y) =


j) (7 – 6x) . ( 7 + 6x) = 


l) (1 + 7x²) . ( 1 – 7x²) = 


m) (3x² - 4 ) ( 3x² + 4) = 


n) (3x² - y²) . ( 3x² + y²) = 


o) (x + 1/2 ) . ( x – 1/2 ) =


p)(x – 2/3) . ( x + 2/3) =


q)( x/4 + 2/3) . ( x/4 – 2/3) =

CUBO DA SOMA OU DA DIFERENÇA DE DOIS TERMOS
.
Exemplo

a) (a + b)³ = (a + b) . (a + b)²=(a + b) . (a² + 2ab + b²)


= a³ + 2a²b + ab² + a²b + 2ab² + b³= a³ + 3a²b + 3ab² + b³

b) (a – b)³ = (a - b) . (a – b)²= ( a – b) . ( a² - 2ab + b²)


= a³ - 2a²b + ab² - a²b + 2ab² - b³= a³ - 3a²b + 3ab² - b³

c) ( x + 5 )³ = x³ + 3x²5 + 3x5² + 5 ³= x³ + 15x² + 75x +125

d) (2x – y )³ = (2x)³ - 3(2x)²y + 3(2x)y² - y³



=8x³ - 3(4x²)y + 6xy² - y³ = 8x³ - 12x²y + 6xy² - y³


EXERCICIOS

1) Desenvolva

a) ( x + y)³ = 


b) (x – y)³ = 


c) (m + 3)³ =


d) (a – 1 )³ =


e) ( 5 – x)³ = 


f) (-a - b)³


g) (x + 2y)³


h) ( 2x – y )³


i) (1 + 2y)³


j) ( x – 2x)³


k) ( 1 – pq)³


l) (x – 1)³


m) ( x + 2 )³


n) ( 2x – 1)³


o) ( 2x + 5 )³


p) (3x – 2 )³

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